<책> 매스매틱스 3 by 이상엽
본 책은 현시점에서, 3개의 시리즈로 구성되어 있는 수학사에 관한 소설이다. 본 책에서는 알콰리즈미와 피보나치의 시대에 대해서 다룬다.
알콰리즈미 시대의 공간적 배경은 약 9세기경 7대 칼리파인 알마문 시대에 세워진, 도서관이자 전문 번역기관인 ‘지혜의 집’을 중심으로 사건이 돌아간다. 본 시대, 즉 본 챕터에서 중점적으로 다루어진 사건은 ‘암호 해독’에 관해서다. 그리고 간간히 ‘암호 해독’을 해나가는 과정에서, 참고할 만한 서적을 읽어나가는 데, 그 과정에서, 여러 수학적 지식, 즉 브라마 굽타의 공식, 그로부터 유도되는 헤론의 공식, 일렬로 정렬할 때의 순열의 곱의 법칙, 음수의 존재와 이차방정식 근의 공식 유도 등이 나온다.
브라마 굽타의 공식은, 원에 내접하는 임의의 사각형의 각 변의 길이를 각각 a, b, c, d 라고 하고, 그 임의의 사각형 둘레의 길이를 s라고 할 때, 이 임의의 사각형의 넓이는 사각형 둘레의 길이의 반인 s / 2를 임의의 사각형 각 네 변에 각각 빼주고, 이것들을 다 곱한 후, 그 값에 제곱근을 취한 값이라는 것이다. 즉 수식으로는 [( s / 2 - a)( s / 2 - b)( s / 2 - c)( s / 2 - d)]^1/2 인 것이다. 그리고 헤론의 공식은 이 브라마 굽타 공식에서 유도되는데, 즉 원에 내접하는 임의의 사각형의 어느 인접한 꼭짓점이 같을 때, 즉 한 변의 길이가 0일 때, 그 경우는 원에 내접한 삼각형이 된다. 그리고 이 원에 내접한 임의의 삼각형의 넓이를 구하는 공식이 헤론의 공식이다. 즉 헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우인 것이다. 각 변을 a, b, c라 할 때, 그 공식은 [( s / 2)( s / 2 - a)( s / 2 - b)( s / 2 - c)]^1/2 가 된다.
일렬로 정렬할 때의 경우의 수를 구하는 법칙은 대부분의 사람이 알고 있는 경우와 같이, 즉 경우에 해당되는, 5명의 사람을 일렬로 정렬하는 경우의 수는 5!, 즉 5*4*3*2*1이 된다. 본 챕터에서는 음수의 존재에서도 다루는데, 이전 책에서 다룬, '유휘'라는 인물이 저술한 '구장산술 주해본'의 방정장에 음수의 개념이 나타나 있다. 그러나 해당 시대, 즉 알콰리즈미 시대에는 음수의 개념이 존재하지 않았다. 정확히는 알콰리즈미가 저술한 ‘이항과 소거에 의한 계산 개론’에서 방정식 각 항의 계수가 항상 양이 되도록, 큰 수에서 작은 수를 뺀 경우만 제시되어 있다. 이 음수의 개념을 일부러 피한 것처럼 보이는 행위를 한 것은, 아마 ‘음수’라는 행위가 실체가 없기 때문일 것이다. 즉 우리가 사는 현실에서, 내 앞에 두 개의 연필이 존재한다. 하나의 연필을 쓰레기통에 버리면, 남은 연필의 개수는 하나이다. 이 남은 하나의 연필마저 버리면, 연필은 존재하지 않는다. 즉 0개가 된다. 그리고 존재하지 않는 연필을 앞에서의 과정처럼 또다시 버리는 행위는 현실에서 불가능하다. 왜냐하면 실체가 없기 때문이다. 이처럼, 음수라는 개념이 실체를 가지지 않기 때문에, 알콰리즈미는 그의 저서에서 음수라는 개념을 도입하지 않지 않았나 싶다. 또한, 본 책에서는 앞서 말한, 알콰리즈미가 저술한 책의 내용을 비판하며, 이차방정식의 근의 공식을 유도한다. 즉 아래와 같이 말이다.
앞에서 말한 바와 같이, 본 챕터에서의 주된 내용은 ‘암호 해석’에 관련된 내용이다. 즉 새로운 암호를 풀이하는 방법을 고안하기 위해, 먼저 고안되었던 암호법에 대해 소개한다. 그것에 해당하는 암호법은 카이사르 암호법으로, 단순히 문자를 평행 이동시키는 게 본 암호법의 기본 원리이다. 즉 한글 자음인, ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅ…에 대해서, 3칸 평행이동시키면, ㄱ,ㄴ,ㄷ, 3칸 이동 후, 4칸째 아래에 ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅ…를 적어 내려 간다. 그리고 앞의 빈 3곳은 한글 자음의 남은 문자인 ㅌㅍㅎ를 써준다. 그러면, ㄱ이 ㅌ으로, ㄴ이 ㅍ으로 치환되는 암호 방법이다. 또한 이 암호법의 응용이 존재한다. 예를 들어, 자음은 3칸 이동시키고, 모음은 5칸 이동시킨다든지, 또는, 문자 간격을 변화시키는 방법 등이 있다. 즉 문자 간격을 변화시키는 방법에 대해 말하자면, 3칸 전체 이동, 2칸 간격 이동이라는 예를 보면, ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅ… 아래 4칸 째부터 ㄱㄴㄷㄹㅁㅂㅅ…를 적어 내려 가는데, 문자를 적어 내려 갈 때 2칸 단위로 띄어서 적어 내려 가는 것이다. 즉 4칸째인 ㄹ밑에ㄱ이, 그리고 ㅂ밑에 ㄴ이, ㅇ밑에 ㅎ을 적고, 이와 같이 순서대로, 2칸을 띄워, 한글 자음을 적어 내려 가고, 곳곳에 빈 곳도, 변환시키지 전인, ㅎ까지 도달 후, 순서대로 채워나간다. 그다음, 마찬가지로, ㄱ 앞에, 3칸 이동시킴으로써 생긴 빈 곳에 2칸 간격을 띄워 적어 내려 가고, 그 순서가 ㄱ앞까지 채워지면, 다시 앞으로가, 빈 곳을 채우는 형식이다. 그러나 이 카이사르 암호법은 기본적으로 문자들을 일괄적으로 평행이동시키는 방법에서 시작함으로, 아무리 변형한다고 해도, 자음끼리, 모음끼리 그 나열 방향은 획일적일 수밖에 없다는 한계점이 명확하여, 이것은 암호문을 해독할 때, 일종의 단서가 될 수 있다. 따라서, 본 책에서는 다른 암호문을 해독하는 암호법에 대한 연구를 해나간다. 그리고 해당 연구의 결과는 ‘빈도수에 따른 암호법’으로 일반화된다.
즉 암호문에서 많이 쓰인 문자와 실제 생활에서 많이 쓰이는 문자에 대한 대치이다. 즉 암호문에서 가장 많이 쓰인 문자가, 실생활에서 가장 많이 쓰인 문자로 치환되는 식인 것이다. 하지만 무조건 빈도수에 정확하게 일치하는 것이 아니다. 즉 암호문에서 제일 많이 쓰였다 하더라도, 실생활에서 2순위, 3순위로 많이 쓰이는 문자가 치환 문자인 경우도 존재하니 말이다. 하지만 이것은 큰 문제가 되지 않는다. 빈도수에 따라, 문자를 치환하여, 맥락에 맞게 문자를 다시 재배열 시키면 되기 때문이다. 즉 ‘춥닉치니 바사. 추시촤 캅께 치돛카사.’ 라는 문장이 존재한다고 하자. 이때, 빈도 자료에 의거해, ㅊ -> 0, ㅅ -> ㄹ, ㅋ -> ㅎ으로 치환한다고 하면, 위 문장은, ‘웁닉이니 바라. 우리와 합께 이동하라.’ 가 된다. 그러면, 위 문장을 맥락에 맞게, ㅂ -> ㅁ으로, ㄴ -> ㅈ으로, 치환하는 것이 합당함을 알 수 있다. 따라서, 위 문장은 ‘움직이지 마라. 우리와 함께 이동하라.’라고 암호가 해독 된다. 위 방식이 빈도 수에 따라 암호를 해독하는 방법인 것이다. 알콰리즈미의 시대인 본 챕터에서의 주요 내용은 여기까지다. 다음 챕터는 우리에게 ‘피보나치 수열’로 너무나 유명한, 피보나치 시대에 대해서 다룬다.
피보나치 시대에서는 예상 가능하게도, 그 유명한 ‘피보나치 수열’에 대해 다룬다. 본 책의 화자는 이탈리아 ‘피사’라는 곳에서 ‘레오나르도’라는 인물을 만난다. 이 레오나르도라는 인물은 아라비아 숫자 체계를 이곳, 즉 서양에 전파하고자 노력하였으며, 그 노력의 일환으로, ‘산반서’라는 책을 저술하였다. 해당 시대에서는 우리가 흔히 쓰는 0, 1, 2 3, 4와 같은 아라비아 숫자를 주로 쓰는 것이 아니라, ‘명수법’이라는 기수법을 주로 사용하였다. 즉 I는 1을, V는 5를 X는 10을 뜻한다. 9를 표현할 때는 10인 X에 1을 빼고자 하니, 왼편에 I를 써, IX = 9 가 된다. 마찬가지로 4는 5에서 1을 뺀, 즉 IV = 4로 표시한다. 이와 같은 숫자를 표시하는 기수법이 본 시대에서는 널리 쓰였으나, 동양의 여러 곳을 여행한, 레오나르도는, 힌두-아라비아 숫자 체계의 간결함을 알아보고, 해당 숫자 체계를 서양에 널리 알리고자, ‘산반서’라는 책을 저술하였다. 산반서에는, ‘큰 수를 쓸 때, 가독성을 위해, 숫자를 3자리씩 끊어서 쓰자.’라는 내용이 담겨 있다. 현대의 우리가 숫자를 세 자리씩 끊어서 쓰는 것과 관련된 내용이 해당 내용에 포함되어 있다. 즉 7억 5천만 3백 9십 2는 750, 000, 392라고 쓰는 것과 같이 말이다. 그리고 또한, 수열의 합 S에 대해서도 저술되어 있다. 즉 첫째항이 7이고 마지막 항이 31이고, 공차가 3일 때의 수열의 합을 구하는 방식에 대해 유도하면, 우선 7부터 31까지 수열의 합을 나열하고, 그 밑에, 거꾸로, 31부터 7까지 수열의 합을 나열하고, 위의 변과 아래 변을 더하는 것으로부터, S를 유도하는 것이다. 즉 그것은 다음과 같다.
그리고 본 챕터에서 주로 다루는 '피보나치 수열'의 관한 내용이 ‘산반서’라는 책 제12장에 한 유형의 문제로부터, 피보나치 수열의 유도과정을 본 책에서 설명해 나간다. 즉 해당 문제는 ‘어떤 사람이 밀폐된 어떤 장소에서 암수 한 쌍의 토끼를 키운다. 첫째 달에 암컷 토끼가 암수 한 쌍의 새끼를 배고 둘째 달에 낳으며 연달아서 또 암수 한 쌍의 새끼를 밴다고 할 때, 일 년 동안 총 몇 마리의 토끼가 생기는지 구하시오.’이다. 처음에 토끼 두 마리의 암수 한 쌍이 존재하고, 첫째 달에는 암수 한 쌍이 새끼를 밴 채로 존재하고, 둘째 달에는 새끼를 출산하고… 이러한 형태이다. 즉 모식도를 통해 나타나면 다음과 같다.
위 모식도에서 볼 수 있듯이, 위 모식도에는 어떠한 패턴이 존재한다. 즉 새끼로 출산된 암수 토끼 쌍은 다음 달에 토끼를 출산하지 않는다. 반면에, 원래 개체로 존재했던, 암수 토끼 쌍은 다음 달에 토끼를 출산한다. 즉 점선 화살표를 받은 토끼 쌍은 다음달에 토끼를 출산하지만, 실선 화살표를 받은 토끼 쌍은 다음달에 토끼를 출산하지 않는 것이다. 그리고 이로부터, 다섯 번째 달에는 에는 8쌍의 토끼가 존재함을 알 수 있다(기존 5쌍 + 점선 3개로 인해 새로 탄생한 암수 토끼 쌍 3). 이로부터 또 하나의 규칙을 알 수 있다. 다섯 번째 달에는 토끼가 3쌍 추가되었고, 셋째 달에는 토끼가 기존에 3쌍이 존재하였다. 마찬가지로, 넷째 달에는 토끼가 2쌍 추가되었고, 둘째 달에는 기존에 토끼가 2쌍 존재한다. 따라서 이것을 공식화시키면, n번째 달의 토끼 쌍 수 = (n-1) 번째 달의 토끼 쌍 수 + (n-2) 번째 달의 토끼 쌍 수가 된다. 우변의 첫째항을 기존의 토끼 쌍 수를, 둘째 항은 추가된 토끼 쌍을 가리킨다. 즉 위와 같은 공식을 따르는 규칙대로 토끼 쌍 수가 증가하면, 다음과 같아진다. 즉 1(처음), 1(첫째 달), 2(둘째 달), 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 즉 이것은 ‘피보나치 수열’로 알려진, 수들의 나열이다. 즉 ‘피보나치 수열’은 처음 두 항을 1과 1로 나열한 후, 그다음 항부터는 바로 앞의 두 개의 항을 더해서 만드는 수열을 말한다. 그리고 본 책은 여기서 더 나아가, 피보나치 수열의 ‘일반항’을 구하고자 하는 것으로 나아간다(피보나치 수열의 일반항은 본 시대 이후인, 오일러에 의해 밝혀지게 되었다.). 그로부터, '특별한 수'를 얻게 되는데, 즉 우선 공비는 뒤의 항에서 그 바로 앞의 항으로 나누면 된다. 즉 a의 n+1 번째 항 / a의 n번째 항 이 된다. 그와 같은 방식으로, 5 / 3, 8 / 5, 13 / 8, … 을 계속 계산해 본 결과, 그 값이 약 1.618에 수렴한다. 그리고 피보나치 수열 각 항에 대입해보면, 피보나치 수열의 다음 항이 나오게된다. 정확히는 피보나치 수열의 다음 항의 근삿값이다. 즉 피보나치 수열은 약 1.618이라는 비율로 커지는 것을 알 수 있다. 그리고 이 1.618이라는 수는 ‘황금비’로 알려져 있다. 즉 황금비는 어떤 두 수의 비율이 그 합과 두 수중 큰 수의 비율과 같아지도록 하는 비율로써, 그 근삿값은 약 1.618인 무리수이다. 즉 5 + 8 / 8 은 약 1.618이라는 값이 나온 다는 것이다. 그리고 이 수를 ‘황금비’라 하는 것이다. 이 황금비는 정오각형에서도 찾을 수 있다. 즉 정오각형 내에 대각선을 그어, 별 모양을 만들 수 있으며, 이 별 모양을 보면, 가장 긴 선과 그다음으로 긴 선의 비율이 1.618 : 1 인 것을 알 수 있다. 또 그 다음으로 긴 선과 그 다음으로 긴선의 비율 또한 마찬가지다. 즉 정오각형 내에 별 모양에서, 1.618 : 1인 비율의 선을 볼 수 있는 것이다.
본 챕터뿐만이 아닌, 본 책에서는 알콰리즈미가 추구했던 바인, 수학에 문외한인 일반인들도 볼 수 있게끔, 수식을 가급적 자제하는 관점을 추구하는 내용에 대해서 서술한다. 그럼으로써, 말로 풀이된 문제를 수식으로 변환하여 푸는 문제가 종종 등장한다. 본 책에서 인상 깊었던 문제는 부정방정식에 관한 문제로, 문제의 서술은 다음과 같다.
즉 ‘세 명의 사람이 돈더미를 갖고 있으며 각자의 몫은 절반, 셋 중 하나, 여섯 중 하나씩이었다. 이제 각자 이 돈 더미에서 적당하게 돈을 남김없이 모두 가져간다. 그리고서 첫 번째 사람은 자신이 가져간 금액의 절반을, 두 번째 사람은 셋 중 하나를, 세 번째 사람은 여섯 중 하나를 반환한다. 그렇게 반환된 총액을 셋이서 또다시 균등히 분배하였을 때, 처음 그들의 몫대로 정확히 분배가 이루어졌다. 이때 처음에 있었던 돈 더미는 얼마였겠는가? 그리고 각자 얼마씩을 가져갔겠는가?’라는 문제다. 수식으로 쓰지 않으니 가독성이 매우 떨어진다. 위 문제를 수식으로 표현하여, 푸는 과정은 다음과 같다.
즉 c의 값에 따라, 답이 정해지는 부정방정식의 형태를 지닌 문제인 것이다. 본 책을 읽으면서, 특히 글자로 서술된 문제들을 보면서, 수식의 간결함으로 인한, 가독성이 높아지는 것을 경험함에 따라, 수식이 담고 있는 압축성에 경이로움을 느낀다.
레오나르도가 저술한 산반서의 서문에 나오는 ‘1202년, 보나치의 아들인 피사의 레오나르도가 집필한 산반서는 여기서부터 시작한다.’라는 내용이 ‘산반서’라는 책의 첫 문구이다. 여기서 '보나치'는 레오나르도의 아버지의 별명으로, 즉 Bonacci의 뜻은 ‘성품이 좋은’, ‘쾌활한’이라는 뜻을 담고 있다. 따라서, 산반서의 서문에 쓰인 라틴어의 원본에는 보나치의 아들을 ‘Filius Bonacci’라고 적혀 있다. 이것을 신성 로마 제국의 공증인이었던 ‘페리졸로’가 ‘Fibonacci’라고 줄여 부른 데서 오늘날의 레오나르드의 별칭인 피보나치가 유래했다고 알려져 있다.
현재까지 출간된 매스매틱스는 세 권으로, 현재까지 출간된 본 책의 시리즈를 전부 읽어보았다. 본 시리즈를 읽으면서, 특정 시대의 수학자와 관련된 수학 내용들을 각 시대마다, 중점적으로 다루는 사건을 중심으로 전개해 나가는 게 대단히 인상 깊다. 이렇게 여러 수학 지식들을 수학사와 연결 지어, 알기 쉽게 전달하는 저자의 능력이 매우 인상 깊다. 이러한 저자에게 찬사를 보낸다.
